Александр Николаевич Аземша родился 23 октября 1950 года в Ленинграде, по соседству с Летним садом и Михайловским замком, а учился в художественной школе на набережной Невы, напротив пристани со сфинксами. Кроме школьных предметов, здесь очень много рисовали: днем — в школе, вечером — дома. По воскресеньям выбирались на этюды, летом ездили на практику, и там тоже рисовали. И что очень важно — находилась школа в Академии художеств с ее уникальной атмосферой, помнившей времена, когда здесь учились и преподавали знаменитые художники, скульпторы и архитекторы. Эту атмосферу составляли парадные залы и двухсветные галереи, музей, отдел слепков, мастерские и замечательная библиотека.

Первый успех пришёл к 17-летнему Александру Аземше в 1967 году, когда рисунок «Новороссийский порт», выполненный во время школьной практики, был награждён дипломом на Международной художественной выставке «Человек и его мир. Экспо-67» в Монреале.

Очень важным моментом в формировании Александра Аземши как профессионала-графика стало сотрудничество с ленинградскими журналами «Аврора» и «Костер», начавшееся в 1972 году.
С 1978 по 1988 год он был главным художником детско-юношеского журнала «Костер».

В 1977 году в издательстве «Детская литература» вышла первая авторская книга с иллюстрациями А. Н. Аземши — повесть Х. Тальке «Я буду сражаться».

Одним из увлечений в семье Александра Николаевича были коты. Он считал отношение человека к кошкам своего рода проверкой, — если кто-то их не любит, то к такому человеку следует относиться настороженно.

Коты в его доме делали то, что им положено по природе: лежали и грелись под лампами, помогали рисовать, опрокидывая тушь и оставляя грязные следы на оригиналах, и самое главное — создавали неповторимую домашнюю атмосферу.